Résumé

 L’arrivée de la 5G pourrait changer radicalement l’infrastructure des réseaux mobiles. S’il est nécessaire aujourd’hui pour un opérateur d’investir dans de nombreuses antennes relais afin que les usagers bénéficient partout d’une bonne couverture réseau, demain, les communications Device-to-Device (D2D) — ou communications directes et de courte portée entre deux terminaux mobiles — pourraient en théorie, au moins en milieu urbain, transformer les usagers eux-mêmes, via leurs appareils, en mini antennes relai. Mathématiquement, le bon fonctionnement d’un réseau ainsi construit peut s’exprimer comme un problème de percolation. On modélise la voirie d'une ville par une mosaïque aléatoire plane. Sur les arêtes de cette mosaïque, on jette un processus ponctuel de Cox, représentant les usagers. Enfin, un processus ponctuel de Bernoulli sur les sommets de la mosaïque décrit la présence d’antennes relais supplémentaires, réparties aléatoirement et plus ou moins densément, aux carrefours des rues de la ville. Le réseau mobile D2D est représenté par un graphe, dont les sommets sont les atomes des deux processus ponctuels précédents, et dont les arêtes relient les paires de sommets suffisamment proches et situés sur une même arête de la mosaïque. La percolation du graphe aléatoire, c’est-à-dire l’existence d’une composante connexe infinie, traduit le fonctionnement à grande échelle du réseau mobile D2D. Dans cet exposé, nous présenterons les différents régimes de connectivité du réseau selon la densité en utilisateurs et en antennes relais, quand la mosaïque sous-jacente est une triangulation de Delaunay. Travail en collaboration avec David Coupier et Benoît Henry.

La symmétrie de Kramers-Wannier est une propriété classique qui permet de relier les développements de haute et basse température de la fonction de partition du modèle d'Ising et peut être exprimée comme un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson. Lorsque le graphe est planaire et self-dual (e.g $\Z^2$), et sous l'hypothèse d'existence et d'unicité d'une transition de phase pour le modèle, elle permet notamment de localiser la température du point de transition comme point fixe de la transformation. Nous montrons que cette approche peut être généralisée à des modèles non planaires sur des graphes admettant un plongement self-dual. Quelques exemples viendrons illustrer ce résultat: le modèle de Wu-Baxter (Intéractions à 3 spins sur réseau triangulaire), le modèle de Wood-Griffiths (Intéractions à 4 spins sur réseau FCC) ainsi que leur généralisation en dimension n > 3. Nous construisons également une variante self-duale du modèle d'Ising sur $Z^3$.

PAC-Bayes is a generic and flexible framework to address generalisation abilities of machine learning algorithms. It leverages the power of Bayesian inference and allows to derive new learning strategies. I will briefly present the key concepts of PAC-Bayes and highlight a few recent contributions from my group.

 References: https://bguedj.github.io/publications/, and our ICML 2019 tutorial https://bguedj.github.io/icml2019/index.html

Un processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP) sont des processus caractérisés par un flot déterministe phi, un taux de saut lambda et une mesure de transition Q. Le processus (X_t) part d'une valeur initiale x_0, et suit ensuite le flot phi jusqu'au premier instant de saut T_1, qui intervient de manière Poissonnienne, avec un taux de saut lambda(X_t). Le processus saute alors, et la valeur après le saut est donnée grâce à la distribution de transition Q(X_T1,dy). Le processus repart de ce nouveau point comme avant. On estime le taux de saut lambda de  façon non paramétrique.